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<!DOCTYPE html>

<title>Eigenmode</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Eigenmode</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eigenmoden oder Normalmoden sind spezielle Bewegungen eines <a href="Schwingungsf%C3%A4higes_System" class="mw-redirect" title="Schwingungsfähiges System">schwingungsfähigen Systems</a>. Es handelt sich – neben der <a href="Gleichf%C3%B6rmige_Bewegung" title="Gleichförmige Bewegung">gleichförmigen Bewegung</a> des ganzen Systems – um diejenigen periodischen Bewegungen, bei denen alle Komponenten des Systems die gleiche Frequenz zeigen, wenn das System nach einer Anregung sich selbst überlassen bleibt. Eine solche Frequenz wird als Eigenfrequenz des Systems bezeichnet, die entsprechende Eigenmode auch als Eigenschwingung, denn bei kleinen Amplituden sind es ungedämpfte <a href="Harmonische_Schwingung" class="mw-redirect" title="Harmonische Schwingung">harmonische Schwingungen</a>. Jede Bewegung des Systems kann als eine <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">Überlagerung</a> von verschiedenen Eigenmoden dargestellt werden. Die Anzahl verschiedener Eigenmoden ist gleich der Anzahl der <a href="Freiheitsgrad" title="Freiheitsgrad">Freiheitsgrade</a> des Systems.

Die Eigenmoden und -frequenzen eines Systems hängen davon ab, aus welchen Bestandteilen das System aufgebaut ist und wie diese aufeinander einwirken. Die Eigenfrequenzen der <a href="Saite" title="Saite">Saite</a> eines Musikinstruments werden beispielsweise durch ihre Länge, ihr Material und ihre mechanische Spannung bestimmt. Ähnliches gilt für alle schwingungsfähigen Systeme.

Das Wort Eigenmode leitet sich ab vom englischen Mode oder lateinischen Modus, was in beiden Fällen etwa „Art und Weise“ bedeutet, und von <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwert</a>, einem Begriff aus der <a href="Algebra" title="Algebra">Algebra</a>. In der Sichtweise der theoretischen Physik bilden die Eigenmoden nämlich eine diskrete <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a>, mit der alle dem System möglichen Bewegungen dargestellt werden können. Die Eigenmoden und Eigenfrequenzen ergeben sich aus den <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichungen</a> des Systems als <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektoren</a> bzw. Eigenwerte dieses Gleichungssystems. Die gleichförmige Bewegung wird als eine Eigenmode mit der Frequenz Null dargestellt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Theorie">Theorie</h2></div>

Die <a href="Lagrangefunktion" class="mw-redirect" title="Lagrangefunktion">Lagrangefunktion</a> eines Systems mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> Freiheitsgraden sei

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</mrow>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q_{1},\dots ,q_{f},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{f})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1},\dots ,q_{f}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-U(q_{1},\dots ,q_{f})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e102bc816f75e5701d9e6bf8920e9b5b7705ccf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:68.775ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle L(q_{1},\dots ,q_{f},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{f})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1},\dots ,q_{f}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-U(q_{1},\dots ,q_{f})}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd6f1bb2d6548dca472922bcbcb77e7ad3a5b4df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.518ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m_{ij}}" loading="lazy"> die Massenmatrix und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> das Potential ist. Bei der Näherung der Lagrangefunktion bis in zweiter Ordnung um die Gleichgewichtskoordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa24b9c8c20b03f9d3548f8e61cf9845a45bcdd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.134ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q^{0}}" loading="lazy"> und der Vernachlässigung des konstanten Terms wird dies zu

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\bigg |}_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}(q_{i}-q_{i}^{0})(q_{j}-q_{j}^{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c1d19c290706ee01c1841f5e00c4a955c3f8d9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:71.271ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\bigg |}_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}(q_{i}-q_{i}^{0})(q_{j}-q_{j}^{0})}" loading="lazy"></dd></dl>

respektive mit der Koordinatentransformation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=q-q^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=q-q^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c95e0a430f8e16a44dc92f002cbc4b7902ce5ec0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.472ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=q-q^{0}}" loading="lazy"> und den Abkürzungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{ij}=T_{ji}=m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0})}">

<msub>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{ij}=T_{ji}=m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef3b2a817874ff19b98fe9eda717f82dd19d012f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:26.678ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle T_{ij}=T_{ji}=m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0})}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{ij}=V_{ji}=\partial ^{2}U/\partial q_{i}\partial q_{j}|_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}}">

<msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msubsup>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{ij}=V_{ji}=\partial ^{2}U/\partial q_{i}\partial q_{j}|_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8546e2241a07b1e394e4d14d59d1296b000e4c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.341ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle V_{ij}=V_{ji}=\partial ^{2}U/\partial q_{i}\partial q_{j}|_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}}" loading="lazy"> kurz

<mfrac>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}\left(T_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-V_{ij}x_{i}x_{j}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48fa3b61d6fce71958514d861f75f82e5934b16f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:30.311ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}\left(T_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-V_{ij}x_{i}x_{j}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus den <a href="Lagrangegleichung" class="mw-redirect" title="Lagrangegleichung">Lagrangegleichungen</a> ergeben sich die Bewegungsgleichungen des Systems

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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<mover>

</mover>

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</mrow>

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</mrow>

</munderover>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{j=1}^{f}T_{ij}{\ddot {x}}_{j}=-\sum _{j=1}^{f}V_{ij}x_{j}\Leftrightarrow T{\ddot {x}}=-Vx}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de94f911d56c24e2eeace7cd3ead48430992f289.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:37.527ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{j=1}^{f}T_{ij}{\ddot {x}}_{j}=-\sum _{j=1}^{f}V_{ij}x_{j}\Leftrightarrow T{\ddot {x}}=-Vx}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei sowohl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> als auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\times f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\times f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ce0949d5962f4ced1989ffc289714814bace945.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.398ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\times f}" loading="lazy">-Matrizen und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">-dimensionaler Vektor ist. Da die kinetische Energie immer größer als Null ist, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> <a href="Positiv_definit" class="mw-redirect" title="Positiv definit">positiv definit</a>. Damit sich das System in einem <a href="Stabiles_Gleichgewicht" class="mw-redirect" title="Stabiles Gleichgewicht">stabilen</a> oder <a href="Indifferentes_Gleichgewicht" class="mw-redirect" title="Indifferentes Gleichgewicht">indifferenten Gleichgewicht</a> befindet, muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> positiv semidefinit sein. Insbesondere sind daher alle Eigenwerte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> nichtnegativ.

Der Lösungsansatz der Gleichung lautet:

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=A\exp(-\mathrm {i} \omega t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37f12e066520b24f7acad1709fb35e7c157ba7c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.309ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)=A\exp(-\mathrm {i} \omega t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies führt auf das <a href="Verallgemeinertes_Eigenwertproblem" title="Verallgemeinertes Eigenwertproblem">verallgemeinerte Eigenwertproblem</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (V-\omega ^{2}T)A=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0fb4601f9dee4b4ef6aec90bd31ac28e2414e86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.577ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (V-\omega ^{2}T)A=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Um dieses nichttrivial zu lösen, muss die <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det(V-\omega ^{2}T)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det(V-\omega ^{2}T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bf776eb6432e0f71d4b217c13b1e037eac948d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.803ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \det(V-\omega ^{2}T)}" loading="lazy"> verschwinden. Diese ist das <a href="Charakteristisches_Polynom" title="Charakteristisches Polynom">charakteristische Polynom</a> vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fc60ab391d9835017f0778767fb25a54402d20f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.5ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega ^{2}}" loading="lazy"> und besitzt daher <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> Nullstellen. Die <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">Symmetrie</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> sorgt dafür, dass die Eigenwerte alle reell sind, siehe <a href="Spektralzerlegung_(Mathematik)" title="Spektralzerlegung (Mathematik)">Spektralzerlegung (Mathematik)</a>, und diese sind zudem nichtnegativ, wegen der positiven (Semi-)Definitheit der beteiligten Matrizen. Physikalisch kann dies wie folgt interpretiert werden: Angenommen, es gäbe eine Nullstelle im Negativen oder Komplexen, dann würde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> einen Imaginärteil besitzen und die Lösung divergieren. Dies steht im Widerspruch zur Annahme des stabilen Gleichgewichts.

Die (positiven) Wurzeln der Nullstellen des Polynoms

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(f)}(\omega ^{2})=\det(V-\omega ^{2}T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad4e3a0f3f16c850b4e8425807e6cb221d055577.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.448ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P^{(f)}(\omega ^{2})=\det(V-\omega ^{2}T)}" loading="lazy"></dd></dl>

sind die Eigenfrequenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e636bf7531cecd91206a36f038cf869e7934932.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.535ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{k}}" loading="lazy"> des Systems, das durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> beschrieben wird. Ein System mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> Freiheitsgraden besitzt daher maximal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> Eigenfrequenzen.

Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> Eigenschwingungen des Systems sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektoren</a> des Eigenwertproblems, die die Gleichung

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (V-\omega _{k}^{2}T)A^{(k)}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff043fcc0f1703e1065a39967a0a5ddde71858e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.98ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle (V-\omega _{k}^{2}T)A^{(k)}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllen. Insbesondere ist jedes Vielfache eines Eigenvektors auch ein Eigenvektor. Das bedeutet, diese können normiert und mit einer komplexen Konstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d2f8052630e67b00d04e3487e1d68ed7070470b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.096ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{k}}" loading="lazy"> multipliziert werden.

Fallen mehrere Eigenfrequenzen zusammen, dann hat die Gleichung nicht vollen <a href="Rang_(Lineare_Algebra)" title="Rang (Lineare Algebra)">Rang</a> und einige Komponenten der zugehörigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{(k)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2e474e1dda10a404546f9996c13d0aaa4cab07b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.111ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A^{(k)}}" loading="lazy"> können frei gewählt werden. Hat die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> einen Eigenwert null, liegt ein indifferentes Gleichgewicht vor. Dann ist auch eine Eigenfrequenz des Systems Null. In diesem Fall lautet die Eigenwertgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {x}}=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {x}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46fb346fd9f1d2b5e2fabeee122a7d3205d0844f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {x}}=0}" loading="lazy">, sodass die Lösung eine gleichförmige Bewegung des Systems ist.

Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems für die Schwingung des Systems ist eine <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">Superposition</a> seiner Eigenschwingungen und gegebenenfalls einer gleichförmigen Bewegung

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=\sum _{k=1 \atop \omega _{k}\neq 0}^{f}\operatorname {Re} \left(c_{k}A^{(k)}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)+\sum _{k=1 \atop \omega _{k}=0}^{f}A^{(k)}\left(x_{k}^{0}+C_{k}t\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f401b4bc9f489983edff80f4cee7117bd0ec6edd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:57.315ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle x(t)=\sum _{k=1 \atop \omega _{k}\neq 0}^{f}\operatorname {Re} \left(c_{k}A^{(k)}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)+\sum _{k=1 \atop \omega _{k}=0}^{f}A^{(k)}\left(x_{k}^{0}+C_{k}t\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Für jeden Freiheitsgrad existieren daher entweder 2 reelle oder 1 komplexer freier Parameter. Es ergeben sich somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94db27c460d052be2d0399b3c23308ffac4051be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.441ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2f}" loading="lazy"> Konstanten, die durch <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingungen</a> festgelegt werden müssen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normalkoordinaten">Normalkoordinaten</h3></div>

Die Normalkoordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> des Systems sind definiert als

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=a^{-1}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daa1bed7241ea9893430fcc5161d03e051d360d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.829ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Q=a^{-1}x}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei

<mrow>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=\left({A_{i}}^{(k)}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7572b37447e8ad59fabb00164a6eeeb6d3ca601.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.015ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle a=\left({A_{i}}^{(k)}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

ist, also die Matrix der Eigenvektoren. Diese Matrix der Eigenvektoren diagonalisiert sowohl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> als auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">, denn aus der Symmetrie von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> folgt

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\omega _{k}^{2}-\omega _{l}^{2}\right)\sum _{i,j=1}^{f}T_{ij}a_{il}a_{jk}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d918dac6145904979455d04608ee2171b7307f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:27.193ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \left(\omega _{k}^{2}-\omega _{l}^{2}\right)\sum _{i,j=1}^{f}T_{ij}a_{il}a_{jk}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

sodass für alle nicht entarteten Eigenwerte alle Nichtdiagonalelemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75d52bcf3097313a1043b2af5edbf675b07f34f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.515ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta}" loading="lazy"> verschwinden müssen. Eine entsprechende Normierung der Eigenvektoren führt auf die <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalitätsrelation</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e44ee91356d6c83e5740a71d9aaa0a3141fe5c26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.776ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta=1}" loading="lazy"></dd></dl>

Für entartete Eigenwerte können die Eigenvektoren ebenfalls so gewählt werden, dass diese Matrix diagonal wird. Ebenfalls kann gezeigt werden, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> diagonalisiert. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =\left(\omega _{k}^{2}\delta _{kl}\right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =\left(\omega _{k}^{2}\delta _{kl}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55d24d9642e3ab6b20fedf54c85d2f6d1f895696.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.729ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =\left(\omega _{k}^{2}\delta _{kl}\right)}" loading="lazy"> kann die Bewegungsgleichung als

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Va=Ta\lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ea347e2b179a7080cbc22acff819c4d872c414f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Va=Ta\lambda }" loading="lazy"></dd></dl>

geschrieben werden, sodass die Behauptung durch Multiplikation mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{\mathrm {T} }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{\mathrm {T} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f24bd4a8c4da00e0aa36ee486983a415c5ebaadf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.649ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{\mathrm {T} }}" loading="lazy"> von links direkt folgt.

Somit entkoppelt eine Koordinatentransformation von den Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in die Normalkoordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> mittels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=aQ}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=aQ}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3fade6267917af0457e4aded6fc0004be7a70d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.496ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x=aQ}" loading="lazy"> das Gleichungssystem, denn es gilt:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}^{\mathrm {T} }T{\dot {x}}-x^{\mathrm {T} }Vx\right)={\frac {1}{2}}\left({\dot {Q}}^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}-Q^{\mathrm {T} }\lambda Q\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\left({\dot {Q}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}Q_{k}^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcf8df031ad78c3d58e29ac48a60497ac8f2bcb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:69.494ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}^{\mathrm {T} }T{\dot {x}}-x^{\mathrm {T} }Vx\right)={\frac {1}{2}}\left({\dot {Q}}^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}-Q^{\mathrm {T} }\lambda Q\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\left({\dot {Q}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}Q_{k}^{2}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Insbesondere ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{k}=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a4ebc76fdb5fff16d025c4251152392f4d567d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.251ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q_{k}=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Federpendel">Federpendel</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Federpendel" title="Federpendel">Federpendel</a></div>

Ein Federpendel ist ein System, an dem eine Masse an einer Feder aufgehängt ist und das sich nur in eine Dimension bewegen kann. Es besitzt also nur einen einzigen Freiheitsgrad, die <a href="Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkung</a> aus der <a href="Ruhelage" class="mw-redirect" title="Ruhelage">Ruhelage</a>. Für das Federpendel gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bf18eed884527e2847bb9d938472c87019d7b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.81ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V=D}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c214a55d5d4b1666a6b5eff4d607630ef16ff898.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T=m}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> die <a href="Federkonstante" title="Federkonstante">Federkonstante</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> die Masse ist. Daher vereinfacht sich die Matrixgleichung auf eine <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalare</a> Gleichung

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (D-\omega ^{2}m)A=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5e2d5003eddbad0462c7e37582dc1a3962b2f9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.118ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (D-\omega ^{2}m)A=0}" loading="lazy"></dd></dl>

mit einem Polynom ersten Grades in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fc60ab391d9835017f0778767fb25a54402d20f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.5ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega ^{2}}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(\omega ^{2})=\det \left(D-\omega ^{2}m\right)=D-\omega ^{2}m=0\Leftrightarrow \omega ^{2}={\frac {D}{m}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4f9a74da9a80e60ce01362e7acd0f8d8511d735.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:52.958ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle P(\omega ^{2})=\det \left(D-\omega ^{2}m\right)=D-\omega ^{2}m=0\Leftrightarrow \omega ^{2}={\frac {D}{m}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und einem Eigenvektor

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9c93fa532d5efee9437dc500521e334e7ea26a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Lösung ist also

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(c\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m}}}t\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8522b6f68102f992386db38f0bf3ddd5b1d30bfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.104ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(c\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m}}}t\right)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="CO2-Molekül">CO2-Molekül</h3></div>

In erster Näherung kann ein <a href="Kohlendioxid" class="mw-redirect" title="Kohlendioxid">Kohlendioxid</a>-Molekül als drei Massen angesehen werden, von denen die äußeren beiden identischen Massen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{O}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{O}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2dd400495f3e0f7aa9ac387558873f9315ca70a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.527ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{O}}" loading="lazy"> mit der mittleren Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{C}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{C}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6126527893064a1341f2329736d8843be72d398.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.522ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{C}}" loading="lazy"> durch Federn verbunden sind. Da die Bindungen beide gleichartig sind, sind die Federkonstanten beide <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy">. Die Indizes seien so gewählt, dass die Atome von links nach rechts durchnummeriert seien und es sei ferner angenommen, dass sich das Molekül nur entlang der Molekülachse bewegen könne, das heißt, es werden nur <a href="Valenzschwingung" class="mw-redirect" title="Valenzschwingung">Valenz-</a>, aber keine <a href="Deformationsschwingung" class="mw-redirect" title="Deformationsschwingung">Deformationsschwingungen</a> berücksichtigt. Daher existieren drei Freiheitsgrade des Systems: Die Entfernungen der drei Massen von ihrer Gleichgewichtslage.

Dann gilt mit

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\begin{pmatrix}m_{O}&&\\&m_{C}&\\&&m_{O}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d234ddf9f8a0b2374d9cb30745d1934e5f04fb30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:24.773ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle T={\begin{pmatrix}m_{O}&&\\&m_{C}&\\&&m_{O}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=D{\begin{pmatrix}1&-1&\\-1&2&-1\\&-1&1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee6e9686ee34416e3585fda8c669b00cf3bb9758.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:25.185ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle V=D{\begin{pmatrix}1&-1&\\-1&2&-1\\&-1&1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

für die Determinante des Systems

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{(k)}(\omega ^{2})=\omega ^{2}(D-\omega ^{2}m_{O})(\omega ^{2}m_{C}m_{O}-D(2m_{O}+m_{C}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09ca6dca78a7132e77e5f806e2367326d0b86d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:55.681ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P^{(k)}(\omega ^{2})=\omega ^{2}(D-\omega ^{2}m_{O})(\omega ^{2}m_{C}m_{O}-D(2m_{O}+m_{C}))}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dessen drei Nullstellen liegen bei

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}^{2}=0,\qquad \omega _{2}^{2}={\frac {D}{m_{O}}},\qquad \omega _{3}^{2}={\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a32712de84178315879c5070e3c5678dedcd2cf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:51.378ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}^{2}=0,\qquad \omega _{2}^{2}={\frac {D}{m_{O}}},\qquad \omega _{3}^{2}={\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Eigenvektoren sind

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{(1)}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\qquad A^{(2)}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\qquad A^{(3)}={\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b22ac70222529025d9ce7c98872bba2edad136f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:62.653ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle A^{(1)}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\qquad A^{(2)}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\qquad A^{(3)}={\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung zu

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

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</mrow>

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</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

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<mtr>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\left(x_{1}^{0}+C_{1}t\right)+\operatorname {Re} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}c_{2}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m_{O}}}}t\right)+{\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}c_{3}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {{\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}}t\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c62b29082aa4f86845e82fb7b9e8c347c559a54a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:113.296ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle x(t)={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\left(x_{1}^{0}+C_{1}t\right)+\operatorname {Re} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}c_{2}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m_{O}}}}t\right)+{\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}c_{3}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {{\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}}t\right)\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die erste Eigenschwingung ist die <a href="Translation_(Physik)" title="Translation (Physik)">Translation</a> des gesamten Moleküls, die zweite beschreibt die gegenläufige Schwingung der beiden äußeren Sauerstoffatome, während das Kohlenstoffatom in Ruhe bleibt, und die dritte die gleichförmige Schwingung der beiden äußeren, wobei das mittlere Atom gegenläufig schwingt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schwingende_Saite">Schwingende Saite</h3></div>

Eine schwingende Saite besitzt unendlich viele Freiheitsgrade und entsprechend auch unendlich viele Eigenfrequenzen. Diese müssen jedoch den <a href="Randbedingung" title="Randbedingung">Randbedingungen</a> des Problems genügen. Die <a href="Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a> lautet

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{k}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bff6a54d41cd78539bfe7f3ef840c5ceda5b5a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.16ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{k}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x,t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x,t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84e6a2bc1b46671c8ec2bd22f48f53e4aa6b9597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(x,t)}" loading="lazy"> die Auslenkung der Saite und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d2f8052630e67b00d04e3487e1d68ed7070470b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.096ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{k}}" loading="lazy"> die <a href="Phasengeschwindigkeit" title="Phasengeschwindigkeit">Phasengeschwindigkeit</a> der Welle ist. Die Lösung der Wellengleichung für ein festes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{k}(x,t)=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} (\omega _{k}t-kx))\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d71799b523e0301aaddb03c9c7bc8c79c9e90d76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.946ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u_{k}(x,t)=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} (\omega _{k}t-kx))\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle c_{k}={\frac {\omega _{k}}{k}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle c_{k}={\frac {\omega _{k}}{k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46f8680fbf2b8a80a21f91d68c64609d9dbac712.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.912ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle c_{k}={\frac {\omega _{k}}{k}}}" loading="lazy">. Den Zusammenhang zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e636bf7531cecd91206a36f038cf869e7934932.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.535ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{k}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> nennt man die <a href="Dispersionsrelation" title="Dispersionsrelation">Dispersionsrelation</a> des Systems. Für eine Saite ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle c_{k}={\sqrt {S/\rho }}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle c_{k}={\sqrt {S/\rho }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aa012fdc1f33df54f4382ed5f3cc834cf9bcdd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.381ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \textstyle c_{k}={\sqrt {S/\rho }}}" loading="lazy"> eine Konstante, die von der <a href="Mechanische_Spannung" title="Mechanische Spannung">Spannung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> und der linearen Massendichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> der Saite abhängt.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Die Randbedingungen an die schwingende Saite ist, dass die Enden fest eingespannt sind und sich daher für eine Saite der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a05ba7f8fbf2b652c269484a587c0a53a244eff4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.13ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}" loading="lazy"></dd></dl>

sein muss. Dies führt zu der Randbedingung

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k={\frac {\pi n}{L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce3783d7f6f6882d91350a81f89c29c46666594e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.873ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle k={\frac {\pi n}{L}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit einem beliebigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> und somit abzählbar unendlich vielen verschiedenen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> und entsprechend vielen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e636bf7531cecd91206a36f038cf869e7934932.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.535ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{k}}" loading="lazy">. Die Eigenfrequenzen der Saite sind daher

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {S}{\rho }}}{\frac {\pi n}{L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6096e09bbabe2959196756ee16fb2174cde81aa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:13.985ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {S}{\rho }}}{\frac {\pi n}{L}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die allgemeine Lösung der Wellengleichung ist eine Superposition über alle Eigenschwingungen:

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x,t)=\operatorname {Re} \left(\sum _{n}c_{n}\exp \left(-\mathrm {i} {\frac {\pi n}{L}}\left({\sqrt {\frac {S}{\rho }}}t-x\right)\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/515bf5fdb6bfb417934642ed4dd74611fcec6098.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:49.208ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle u(x,t)=\operatorname {Re} \left(\sum _{n}c_{n}\exp \left(-\mathrm {i} {\frac {\pi n}{L}}\left({\sqrt {\frac {S}{\rho }}}t-x\right)\right)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Normalschwingungen_von_Molekülen">Normalschwingungen von Molekülen</h2></div>

Ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">-atomiges <a href="Molek%C3%BCl" title="Molekül">Molekül</a> hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f05b2b88bb71a7fe6b449800d51de31683da674.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.226ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3N}" loading="lazy"> Freiheitsgrade. Davon sind 3 Translationsfreiheitsgrade und im Fall eines linearen Moleküls 2 bzw. im Fall eines gewinkelten Moleküls 3 Rotationsfreiheitsgrade. Somit verbleiben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3N-5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3N-5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a68173e6cd39e59c1a0baf059e41c41e82cfb89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.229ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3N-5}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3N-6}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3N-6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a75ea2e0a32f1b8db6dd8f42cc30bf84b694e77d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.229ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3N-6}" loading="lazy"> Vibrationsfreiheitsgrade, die zu Eigenfrequenzen ungleich Null korrespondieren. Die <a href="Symmetrie_(Physik)" title="Symmetrie (Physik)">Symmetrien</a> dieser <a href="Molek%C3%BClschwingung" title="Molekülschwingung">Molekülschwingungen</a> können durch die <a href="Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">gruppentheoretischen</a> <a href="Charaktertafel" title="Charaktertafel">Charaktertafeln</a> beschrieben werden. Die Normalschwingungen einer entarteten, von Null verschiedenen Eigenfrequenz stellen eine <a href="Verkn%C3%BCpfungsbasis" class="mw-redirect" title="Verknüpfungsbasis">Basis</a> für eine <a href="Irreduzible_Darstellung" class="mw-redirect" title="Irreduzible Darstellung">irreduzible Darstellung</a> der <a href="Punktgruppe" title="Punktgruppe">Punktgruppe</a> des schwingenden Moleküls dar.

Beim obigen Beispiel sind die anderen beiden Normalschwingungen die vernachlässigten transversalen Schwingungen der Atome in den beiden übrigen Raumrichtungen, die sich nicht in der Linie der Atome befinden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quantenmechanik">Quantenmechanik</h2></div>

In der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> wird der Zustand eines Systems durch einen <a href="Zustandsvektor" class="mw-redirect" title="Zustandsvektor">Zustandsvektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi (t)\rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi (t)\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe09d6c91bfdbae7a3aaa7f0ae7ff6b96f521eca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi (t)\rangle }" loading="lazy"> dargestellt, der eine Lösung der <a href="Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödingergleichung</a>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64e98680b878996ecbe0f471e2e94e8b8c12c583.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.536ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

ist. Wenn der <a href="Hamiltonoperator" title="Hamiltonoperator">Hamiltonoperator</a> nicht zeitabhängig ist, ist eine formale Lösung der Schrödingergleichung

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}Ht\right)|\psi (0)\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3255c803fff05b1dd4f524dbcf22b0be6235ef3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.648ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}Ht\right)|\psi (0)\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

Da der Hamiltonoperator ein vollständiges System von Eigenzuständen, den <a href="Energieeigenzustand" title="Energieeigenzustand">Energieeigenzuständen</a>, besitzt, kann in diesen entwickelt werden. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27c3d8e2ffacf9ef93892480fc05a513f6d2bc64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle }" loading="lazy"> folgt

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}E_{n}t\right)|n\rangle \langle n|\psi (0)\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cd763c4a923d8976c6be15a35e306796b4f853d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:37.505ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}E_{n}t\right)|n\rangle \langle n|\psi (0)\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei beschreiben die quantenmechanischen Eigenfrequenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{n}=E_{n}/\hbar }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{n}=E_{n}/\hbar }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d74524fb35cc2674238fc8f388326e26bd7301d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.165ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{n}=E_{n}/\hbar }" loading="lazy"> keine Schwingung im Ortsraum, sondern eine Rotation im <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>, auf dem der Zustandsvektor definiert ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Technische_Beispiele">Technische Beispiele</h2></div>

<ul><li>Eine Glocke, die angeschlagen wird, schwingt anschließend mit den Eigenfrequenzen. Durch <a href="Schalld%C3%A4mpfung" title="Schalldämpfung">Dämpfung</a> klingt die Schwingung über die Zeit ab. Dabei werden höhere Frequenzen schneller abgedämpft als tiefere.</li>

<li>Eine <a href="Stimmgabel" title="Stimmgabel">Stimmgabel</a> ist so konstruiert, dass außer der tiefsten Eigenfrequenz kaum weitere Eigenschwingungen angeregt werden.</li>

<li>In Gebäuden können Eigenfrequenzen angeregt werden. Wenn beim Nachbarn Musik läuft, kann es vorkommen, dass die Frequenz eines <a href="Bass_(Akustik)" title="Bass (Akustik)">Basstons</a> mit einer Eigenfrequenz des Raums zwischen der gemeinsamen Wand und einer parallelen Gebäudewand des eigenen Raums zusammenpasst (<a href="Raummode" title="Raummode">Raummoden</a>). Die von der Musik angeregten Schwingungen der Wand sind dann mitunter sogar dann hörbar, wenn die Musik anhand ihrer vielen entscheidenden höherfrequenten Töne im Wesentlichen nicht wahrnehmbar wäre.</li>

<li><a href="Trommel" title="Trommel">Trommeln</a> haben wie die meisten Musikinstrumente mehrere Eigenfrequenzen.</li>

<li>Bei <a href="Lautsprecher" title="Lautsprecher">Lautsprechern</a> verschlechtern die <a href="Partialschwingung" class="mw-redirect" title="Partialschwingung">Partialschwingungen</a> der Membranen die Wiedergabequalität.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Modalanalyse" title="Modalanalyse">Modalanalyse</a></li>

<li><a href="Mode_(Physik)" title="Mode (Physik)">Mode (Physik)</a></li>

<li><a href="Resonanz" title="Resonanz">Resonanz</a>, <a href="Resonanzkatastrophe" title="Resonanzkatastrophe">Resonanzkatastrophe</a>, <a href="Resonanzfrequenz" title="Resonanzfrequenz">Resonanzfrequenz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Harro_Heuser" title="Harro Heuser">Harro Heuser</a>: <cite style="font-style:italic">Gewöhnliche Differentialgleichungen</cite>. 6. Auflage. <a href="Springer_Vieweg" title="Springer Vieweg">Vieweg+Teubner</a>, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, S. 293.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Eigenmode&rft.au=Harro+Heuser&rft.btitle=Gew%C3%B6hnliche+Differentialgleichungen&rft.date=2009&rft.edition=6&rft.genre=book&rft.isbn=9783834807052&rft.pages=293&rft.pub=Vieweg%2BTeubner" style="display:none">

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich: <cite style="font-style:italic">Strukturdynamik: Diskrete Systeme und Kontinua</cite>. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-540-88976-2.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Eigenmode&rft.au=Robert+Gasch%2C+Klaus+Knothe%2C+Robert+Liebich&rft.btitle=Strukturdynamik%3A+Diskrete+Systeme+und+Kontinua&rft.date=2012&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=9783540889762&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Dieter_Meschede" title="Dieter Meschede">Dieter Meschede</a>: <cite style="font-style:italic"><a href="Gerthsen_Physik" title="Gerthsen Physik">Gerthsen Physik</a></cite>. 23. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Eigenmode&rft.au=Dieter+Meschede&rft.btitle=Gerthsen+Physik&rft.date=2006&rft.edition=23&rft.genre=book&rft.isbn=3540254218&rft.place=Berlin%2FHeidelberg%2FNew+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Hans-Ulrich Harten: <cite style="font-style:italic">Physik für Mediziner</cite>. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1993, ISBN 3-540-56759-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Eigenmode&rft.au=Hans-Ulrich+Harten&rft.btitle=Physik+f%C3%BCr+Mediziner&rft.date=1993&rft.edition=6&rft.genre=book&rft.isbn=3540567593&rft.place=Berlin%2FHeidelberg%2FNew+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Torsten_Flie%C3%9Fbach" title="Torsten Fließbach">Torsten Fließbach</a>: <cite style="font-style:italic">Mechanik</cite>. 6. Auflage. Springer, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Eigenmode&rft.au=Torsten+Flie%C3%9Fbach&rft.btitle=Mechanik&rft.date=2009&rft.edition=6&rft.genre=book&rft.isbn=9783827421487&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Julius Wess: <cite style="font-style:italic">Theoretische Mechanik</cite>. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88574-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Eigenmode&rft.au=Julius+Wess&rft.btitle=Theoretische+Mechanik&rft.date=2009&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=9783540885740&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Rudolf_Zurm%C3%BChl" title="Rudolf Zurmühl">R. Zurmühl</a>, <a href="Sigurd_Falk" title="Sigurd Falk">S. Falk</a>: <cite style="font-style:italic">Matrizen und ihre Anwendungen 1</cite>. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Eigenmode&rft.au=R.+Zurm%C3%BChl%2C+S.+Falk&rft.btitle=Matrizen+und+ihre+Anwendungen+1&rft.date=1997&rft.genre=book&rft.isbn=3540614362&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>